Filtro de média móvel de segunda ordem

Filtro Exponencial. Esta página descreve a filtragem exponencial, o filtro mais simples e mais popular. Este é parte da seção Filtragem que faz parte do Guia de Detecção de Falhas e Diagnóstico. Visão geral, constante de tempo e equivalente analógico. O filtro mais simples é o filtro exponencial Ele tem apenas um parâmetro de ajuste diferente do intervalo de amostra Ele requer o armazenamento de apenas uma variável - a saída anterior É um filtro auto-regressivo IIR - os efeitos de uma mudança de entrada decrescem exponencialmente até que os limites de exibições ou aritmética do computador ocultá-lo. Em várias disciplinas, o uso deste filtro também é referido como suavização exponencial. Em algumas disciplinas, como a análise de investimento, o filtro exponencial é chamado de EWMA Exponencialmente Ponderada Média Móvel ou apenas MOE Exponencial EMA Isso abusa a terminologia de média móvel ARMA tradicional de Análise de séries temporais, uma vez que não há histórico de entrada que é usado - apenas a entrada atual. É o discreto ti Um filtro de filtro RC com um resistor e um capacitor é um retardo de primeira ordem. Ao enfatizar a analogia com os circuitos analógicos, o parâmetro de ajuste único É a constante de tempo, geralmente escrita como a letra grega Tau menor. Na verdade, os valores nos tempos de amostra discretos correspondem exatamente ao intervalo de tempo contínuo equivalente com a mesma constante de tempo. A relação entre a implementação digital e a constante de tempo é mostrada na Equações de filtro exponencial e inicialização. O filtro exponencial é uma combinação ponderada da saída de estimativa anterior com os dados de entrada mais recentes, com a soma dos pesos iguais a 1 de modo que a saída corresponde à entrada em estado estacionário. Seguindo a notação de filtro Já introduzido. ykay k-1 1-ax k. onde xk é a entrada bruta no passo do tempo kyk é a saída filtrada no passo do tempo ka é uma co Nstant entre 0 e 1, normalmente entre 0 8 e 0 99 a-1 ou a é às vezes chamado de constante de alisamento. Para sistemas com um passo de tempo fixo T entre amostras, a constante a é calculada e armazenada para conveniência somente quando o desenvolvedor de aplicação Especifica um novo valor da constante de tempo desejada. Onde tau é a constante de tempo do filtro, nas mesmas unidades de tempo que T. Para sistemas com amostragem de dados em intervalos irregulares, a função exponencial acima deve ser usada com cada passo de tempo, onde T É o tempo desde a amostra anterior. A saída do filtro normalmente é inicializada para coincidir com a primeira entrada. À medida que a constante de tempo se aproxima de 0, a vai para zero, então não há filtragem a saída é igual à nova entrada Como a constante de tempo fica muito grande , A aproxima-se a 1, de modo que a nova entrada é quase ignorada filtragem muito pesada. A equação de filtro acima pode ser rearranjados no equivalente predictor-corretor seguinte. Esta forma torna mais evidente que a variável estimativa de saída do filtro i S predita como inalterada a partir da estimativa anterior y k-1 mais um termo de correção baseado na inovação inesperada - a diferença entre a nova entrada xk ea previsão y k-1 Esta forma é também o resultado de derivar o filtro exponencial como um Simples caso especial de um filtro de Kalman que é a solução ideal para um problema de estimação com um determinado conjunto de pressupostos. Step resposta. Uma maneira de visualizar a operação do filtro exponencial é traçar a sua resposta ao longo do tempo para uma entrada passo Isso é, Começando com a entrada e saída do filtro em 0, o valor de entrada é repentinamente alterado para 1 Os valores resultantes são plotados abaixo. No gráfico acima, o tempo é dividido pela constante de tempo do filtro tau para que você possa mais facilmente prever os resultados de qualquer Após um tempo igual à constante de tempo, a saída do filtro sobe para 63 21 do seu valor final. Após um tempo igual a 2 constantes de tempo, o valor sobe para 86 47 do seu valor final As saídas após tempos iguais a 3,4 e 5 constantes de tempo são 95 02, 98 17 e 99 33 do valor final, respectivamente. Uma vez que o filtro é linear, isto significa que estas percentagens podem ser utilizadas para qualquer magnitude do passo Mudança, não apenas para o valor de 1 usado aqui. Embora a resposta passo em teoria leva um tempo infinito, a partir de um ponto de vista prático, pense no filtro exponencial como 98 a 99 fez responder após um tempo igual a 4 a 5 filtro constantes de tempo. Variações sobre o filtro exponencial. Existe uma variação do filtro exponencial chamado filtro exponencial não-linear Weber, 1980 destinado a filtrar fortemente o ruído dentro de uma determinada amplitude típica, mas depois responder mais rapidamente a maiores mudanças. Copyright 2010 - 2017, Greg Stanley. Share esta página. Signal Processing Digital Filters. Digital filtros são por essência amostrados sistemas Os sinais de entrada e saída são representados por amostras com igual distância de tempo. Finite Implulse Response FIR filtros são caracterizados por um ti Me que depende apenas de um dado número das últimas amostras do sinal de entrada Em outros termos, uma vez que o sinal de entrada caiu para zero, a saída do filtro fará o mesmo após um dado número de períodos de amostragem. A saída yk é dada por um Lineal das últimas amostras de entrada xk i. Os coeficientes bi dão o peso para a combinação Eles também correspondem aos coeficientes do numerador da função de transferência de filtro de domínio z. A figura a seguir mostra um filtro FIR de ordem N 1.Para Linear, os valores dos coeficientes são simétricos em torno do meio e a linha de retardo pode ser dobrada para trás em torno deste ponto médio, a fim de reduzir o número de multiplicações. A função de transferência de filtros FIR só pocesses um numerador Isso corresponde a um todo - Filtro zero. FIR filtros normalmente exigem pedidos de alta, na magnitude de várias centenas Assim, a escolha deste tipo de filtros vai precisar de uma grande quantidade de hardware ou CPU Apesar disso, uma razão t O escolher uma implementação de filtro FIR é a capacidade de obter uma resposta de fase linear, o que pode ser uma exigência em alguns casos. No entanto, o desenhista fiter tem a possibilidade de escolher filtros IIR com uma boa linearidade de fase na passband, como filtros Bessel ou Para projetar um filtro allpass para corrigir a resposta de fase de um filtro padrão IIR. Moving Filtros Média MA Edit. Moving Modelos de MA médio são modelos de processo nos processos form. MA é uma representação alternativa de filtros FIR. Filtros de filtro Edit. A filtro de cálculo A média das N últimas amostras de um sinal. É a forma mais simples de um filtro FIR, com todos os coeficientes sendo igual. A função de transferência de um filtro médio é dada por. A função de transferência de um filtro médio tem N zeros igualmente espaçados Ao longo do eixo de frequência No entanto, o zero em DC é mascarado pelo pólo do filtro Portanto, existe um lobo maior um DC que contabiliza a faixa de passagem do filtro. Cascaded Integrator-Comb CIC Filtros Edit. A Cas O filtro CIC é uma técnica especial para a implementação de filtros médios colocados em série A colocação em série dos filtros médios aumenta o primeiro lobo em DC em comparação com todos os outros lóbulos. Um filtro CIC implementa a função de transferência de N filtros médios, cada um calculando A média de amostras RM Sua função de transferência é assim dada por. CIC filtros são utilizados para dizimar o número de amostras de um sinal por um fator de R ou, em outros termos, a resample um sinal a uma menor frequência, jogando fora R 1 Amostras de R O fator M indica quanto do primeiro lobo é usado pelo sinal O número de estágios de filtro médio, N indica quão bem outras bandas de freqüência são amortecidas, em detrimento de uma função de transferência menos plana em torno de DC. O CIC Estrutura permite implementar todo o sistema com apenas adicionadores e registradores, não usando qualquer multiplicadores que são gananciosos em termos de hardware. Downsampling por um fator de R permite aumentar a resolução do sinal por log 2 R R bits. Canonical filtros Edit. Canonical filtros implementar uma função de transferência de filtro com um número de elementos de atraso igual à ordem do filtro, um multiplicador por coeficiente de numerador, um coeficiente multiplicador por denominador e uma série de adders Similarmente a filtros ativos estruturas canônicas, este O tipo de circuitos mostrou-se muito sensível aos valores dos elementos, uma pequena mudança nos coeficientes teve um grande efeito sobre a função de transferência. Também aqui, o design de filtros ativos se deslocou de filtros canônicos para outras estruturas como cadeias de seções de segunda ordem ou Leapfrog filters. Chain de seções de segunda ordem Edit. Uma segunda seção de ordem muitas vezes referida como biquad implementa uma função de transferência de segunda ordem A função de transferência de um filtro pode ser dividido em um produto de funções de transferência cada associado a um par de pólos e possivelmente um par De zeros Se a ordem da função de transferência é ímpar, então uma seção de primeira ordem deve ser adicionada à cadeia Esta seção é associada Ed para o pólo real e para o real zero se houver um. direct-forma 1.direct-forma 2.direct-forma 1 transposed. direct-forma 2 transposed. The directo-forma 2 transposto da seguinte figura é especialmente interessante Em termos de hardware necessário, bem como de sinal e coeficiente quantization. Digital Leapfrog Filters Edit. Filter Estrutura Edit. Digital leapfrog baseia filtros na simulação de filtros analógicos ativos leapfrog O incentivo para esta escolha é herdar a partir da excelente passband propriedades de sensibilidade do Original. O seguinte filtro de salto baixo todo-pólo de 4ª ordem pode ser implementado como um circuito digital substituindo os integradores analógicos por acumuladores. Substituir os integradores analógicos por acumuladores corresponde simplificar a transformação Z para z 1 s T que São os dois primeiros termos da série de zexps de Taylor T Essa aproximação é boa o suficiente para filtros onde a freqüência de amostragem é muito maior que a largura de banda do sinal. Transfer Func A representação do espaço de estados do filtro anterior pode ser escrita como. A partir deste conjunto de equações, pode-se escrever as matrizes A, B, C, D como. A partir desta representação, as ferramentas de processamento de sinal tais como Octave ou Matlab permitem traçar A resposta de freqüência do filtro ou para examinar seus zeros e pólos. No filtro de salto digital, os valores relativos dos coeficientes definem a forma da função de transferência Butterworth Chebyshev, enquanto suas amplitudes definem a freqüência de corte dividindo todos os coeficientes por um fator de dois Desloca a frequência de corte para baixo por uma oitava também um fator de dois. Um caso especial é o Buterworth 3 ª ordem filtro que tem constantes de tempo com valores relativos de 1, 1 2 e 1 Devido a isso, este filtro pode ser implementado em hardware sem Qualquer multiplicador, mas usando turnos instead. Autoregressive Filtros AR Edit. Autoregressive modelos AR são modelos de processo na forma. Quando un é a saída do modelo, xn é a entrada do modelo, e un - m são previou S amostras do valor de saída do modelo Estes filtros são chamados auto-regressivos porque os valores de saída são calculados com base em regressões dos valores de saída anteriores AR processos podem ser representados por um filtro de todos os pólos. Filtros de ARMA Edit. Autoregressive Moving-média ARMA filtros são combinações de Filtros AR e MA A saída do filtro é dada como uma combinação linear tanto da entrada ponderada quanto das amostras de saída ponderadas. Os processos ARMA podem ser considerados como um filtro IIR digital, com ambos os pólos e filtros zeros. AR são preferidos em muitos casos porque Eles podem ser analisados ​​usando as equações de Yule-Walker Os processos MA e ARMA, por outro lado, podem ser analisados ​​por equações não-lineares complicadas que são difíceis de estudar e modelar. Se tivermos um processo AR com coeficientes de ponderação aa vetor de um , An - 1 uma entrada de xn e uma saída de yn podemos usar as equações de yule-walker Dizemos que x 2 é a variância do sinal de entrada Tratamos o sinal de dados de entrada como um rando M, mesmo que seja um sinal determinístico, porque não sabemos qual será o valor até recebê-lo. Podemos expressar as equações de Yule-Walker como. Quando R é a matriz de correlação cruzada da saída do processo. E r É a matriz de autocorrelação da saída do processo. Variância Edit. We pode mostrar that. We pode expressar a variação do sinal de entrada como. Or, expansão e substituição em r 0 podemos relacionar a variância de saída do processo para a variância de entrada. 1 Modelos de média móvel Modelos de MA Modelos de série de tempo conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos auto-regressivos e / ou média móvel Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de série temporal para a variável xt é um valor retardado de xt Por exemplo, Um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 multiplicado por um coeficiente Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de série temporal é um erro passado multiplicado por um coeficiente. Vamos sobrepor N 0, sigma 2w, significando que Os wt são identicamente, inde Distribuídos de forma independente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de ordem 1, denotado por MA 1 é. Xt mu wt theta1w. O modelo de média móvel de ordem 2, denotado por MA 2 é. Xt mu wt theta1w theta2w. O modelo de média móvel de ordem q, denotado por MA q é. Muitos textos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos Isto não muda as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e os termos não-quadrados em Fórmulas para ACFs e variâncias Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com Um MA 1 Model. Note que o único valor diferente de zero no ACF teórico é para atraso 1 Todas as outras autocorrelações são 0 Assim, uma amostra ACF com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA 1. Para os estudantes interessados, Provas dessas propriedades são um apêndice a este handout. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA 1 é xt 10 wt 7 w t-1 onde wt overset N 0,1 Assim, o coeficiente 1 0 7 Th E o ACF teórico é dado por. Uma parcela deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA 1 com 1 0 7 Na prática, uma amostra won t normalmente fornecer um tal padrão claro Usando R, simulamos n 100 Amostras usando o modelo xt 10 wt 7 w t-1 onde w t. iid N 0,1 Para esta simulação, um gráfico de séries temporais dos dados da amostra segue Podemos t dizer muito a partir deste gráfico. A amostra ACF para o simulada Os dados a seguir vemos um pico no intervalo 1 seguido por valores geralmente não significativos para atrasos anteriores 1 Observe que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA 1 subjacente, que é que todas as autocorrelações para atrasos passado 1 será 0 A As amostras diferentes teriam uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas teriam provavelmente as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA 2. Para o modelo MA 2, as propriedades teóricas são as seguintes. Note que o único não nulo Valores na ACF teórica são para os retornos 1 e 2 Autocorrelat Ions para desfasamentos maiores são 0 Assim, uma amostra ACF com autocorrelações significativas nos retornos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para retardos maiores indica um possível modelo MA 2. Os coeficientes são 1 0 5 e 2 0 3 Como este é um MA 2, o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos retornos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são. Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados de amostra não se comportam de forma bastante Tão perfeitamente como a teoria Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 onde w t. iid N 0,1 O gráfico de série de tempo dos dados segue Como com o gráfico de séries de tempo para O exemplo é típico para situações em que um modelo de MA 2 pode ser útil Existem dois picos estatisticamente significativos nos retornos 1 e 2, seguidos de não - Valores significativos para outros atrasos Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não correspondeu O padrão teórico exatamente. ACF para General MA q Modelos. A propriedade dos modelos MA q em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos q. Não-unicidade da conexão entre os valores de 1 e rho1 No modelo MA 1. No modelo MA 1, para qualquer valor de 1, o recíproco 1 1 dá o mesmo valor para. Por exemplo, use 0 5 para 1 e depois use 1 0 5 2 para 1 Você obterá rho1 0 4 Em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade, restringimos os modelos MA 1 para ter valores com valor absoluto menor que 1 No exemplo dado, 1 0 5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 1 0 5 2 não. Invertibilidade de modelos de MA. Um modelo de MA é dito ser invertible se for algébricamente equivalente a um modelo de ordem AR convergente infinito Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 à medida que nos movemos de volta no tempo. A inviabilidade é uma restrição programada em Software de séries temporais usado para estimar o De modelos com termos MA Não é algo que verificamos na análise de dados Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA 1 são dadas no apêndice. Teoria Avançada Nota Para um modelo MA q com um ACF especificado, só existe Um modelo invertible A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y - - qyq 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos. No Exemplo 1, Teórica ACF do modelo xt 10 wt 7w t-1 e depois simular n 150 valores a partir deste modelo e traçou a série de tempo de amostra ea amostra ACF para os dados simulados Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags de ACF para MA 1 com theta1 0 7 lags 0 10 cria uma variável chamada atraso que varia de 0 a 10 atrasos de trama, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, tipo h, ACF principal para MA 1 Com theta1 0 7 abline h 0 adiciona um eixo horizontal ao plot. Th E o primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto chamado acfma1 nossa escolha de nome. O comando de plotagem do 3º comando traça os retornos em relação aos valores ACF para os retornos 1 a 10 O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um Título na trama. Para ver os valores numéricos do ACF simplesmente usar o comando acfma1.The simulação e parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Lista ma c 0 7 Simula n 150 valores de MA 1 x xc 10 adiciona 10 para fazer média 10 Padrões de simulação para 0 gráfico x, tipo b, principal MA1 dados simulados acf x, xlim c 1,10, ACF principal para simulação Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 e depois simulamos n 150 valores a partir deste modelo e traçamos a série de tempo de amostra e a amostra ACF para o modelo simulado Dados Os comandos R utilizados foram. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 atrasos 0 10 retornos de trama, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, tipo h, ACF principal para MA 2 com theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 trama x, tipo b, principal simulado MA 2 série acf x, xlim c 1,10, ACF principal para simulado MA 2 Dados. Apêndice Prova de Propriedades de MA 1.Para os estudantes interessados, aqui estão as provas para as propriedades teóricas do modelo MA 1.Texto de variância xt texto mu wt theta1 w 0 texto wt texto theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 teta 21 sigma 2w. When h 1, a expressão anterior 1 W 2 Para qualquer h 2 , A expressão anterior 0 A razão é que, por definição de independência do wt E wkwj 0 para qualquer kj Além disso, porque o wt tem média 0, E wjwj E wj 2 w 2.Para uma série de tempo. Apply este resultado para obter O ACF dado acima. Um inversível MA modelo é aquele que pode ser escrito como uma ordem infinita AR modelo que converge para que os coeficientes AR convergem para 0 como nos movemos infinitamente de volta no tempo Vamos demonstrar invertibilidade para o modelo MA 1.Nós então A relação de substituição 2 para w t-1 na equação 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At time t-2 a equação 2 torna-se. Nós então substituimos a relação 4 para w t-2 na equação 3. zt wt Theta1 z - teta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31w. Se continuássemos infinitamente, obteríamos o modelo de ordem infinita AR. No entanto, se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão infinitamente em tamanho à medida que retrocedermos no tempo Para evitar isso, precisamos de 1 1 Isto é A condição para um modelo MA invertible. Modelo de MA de Ordem Intrínseca. Na semana 3, veremos que um modelo AR 1 pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita. Esta somatória de termos de ruído branco passado é conhecida como a representação causal de um AR 1. Em outras palavras, xt é um tipo especial de MA com um número infinito de termos Voltando no tempo Isto é chamado uma ordem infinita MA ou MA Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recall na Semana 1, notamos que um requisito para um AR 1 estacionário é que 1 1 Vamos calcular o Var xt usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer phi1 1 caso contrário a série diverge.